Lời giải của phương trình y ′ = − 2.3 y {\displaystyle y'=-2.3y} được tính toán bằng phương pháp Euler với kích thước bước h = 1 {\displaystyle h=1} (các hình vuông màu xanh da trời) và h = 0.7 {\displaystyle h=0.7} (các hình tròn màu đỏ). Đường cong màu đen biểu diễn lời giải chính xác.

Phương pháp Euler cũng có thể không ổn định về mặt phương pháp số, đặc biệt là đối với các phương trình cứng, có nghĩa là lời giải số tăng rất nhanh trong khi lời giải chính xác không (tăng). Điều này có thể được minh họa bằng cách sử dụng phương trình tuyến tính

y ′ = − 2.3 y , y ( 0 ) = 1. {\displaystyle y'=-2.3y,\qquad y(0)=1.} Hình tròn lớn màu hồng biểu diễn vùng ổn định đối với phương pháp Euler

Lời giải chính xác là y ( t ) = e − 2.3 t {\displaystyle y(t)=e^{-2.3t}} , phân rã về không khi t → ∞ {\displaystyle t\to \infty } . Tuy nhiên, nếu phương pháp Euler được áp dụng cho phương trình này với kích thước bước h = 1 {\displaystyle h=1} , thì lời giải số là sai về mặt định tính: nó dao động và tăng (xem hình). Đây là những gì có nghĩa là không ổn định. Nếu kích thước bước nhỏ hơn được sử dụng, ví dụ h = 0.7 {\displaystyle h=0.7} , thì lời giải số không phân rã về không.

Nếu phương pháp Euler được áp dụng cho phương trình tuyến tính y ′ = k y {\displaystyle y'=ky} , thì lời giải số không ổn định nếu tích số h k {\displaystyle hk} nằm bên ngoài vùng

{ z ∈ C ∣ | z + 1 | ≤ 1 } , {\displaystyle \{z\in \mathbf {C} \mid |z+1|\leq 1\},}

được minh họa ở phía bên phải. Vùng này được gọi là vùng không ổn định (tuyến tính).[17] Trong ví dụ, k {\displaystyle k} bằng -2,3, vì vậy nếu h = 1 {\displaystyle h=1} thì h k = − 2 , 3 {\displaystyle hk=-2,3} tức là nằm bên ngoài vùng ổn định, và do đó lời giải số là không ổn định.

Sự hạn chế này —cùng với việc hội tụ sai số chậm với h— làm cho phương pháp Euler không được sử dụng thường xuyên, ngoại trừ như một ví dụ đơn giản của tích phân số.